直角坐标方程形如 \(y = f(x)\) 或 \(f(x, y) = 0\)，参数方程形如
\[ \begin{cases} x = f(t) \\ y = g(t) \end{cases} \]极坐标方程形如 \(\ell = \rho(\theta)\)。
直角坐标方程转参数方程
\[ y = f(x) \Longrightarrow \begin{cases} x = t \\ y = f(t) \end{cases} \]参数方程转直角坐标方程
- 代入法: 直接从 \(x = f(t)\) 解出 \(t = f^{-1}(x)\), 然后将其带入 \(y = g(t)\) 解得 \(x\) 和 \(y\) 关系.
- 三角法: 如果方程涉及三角函数, 则可以利用三角恒等式解出直角坐标方程. \[ \begin{cases} x = r \cos t \\ y = r \sin t \end{cases} \Longrightarrow x^2 + y^2 = r^2 (\sin^2 t + \cos^2 t) = r^2 \]
极坐标方程转参数方程
\[ \ell = \rho(\theta) \Longrightarrow \begin{cases} y = \rho(t) \sin t \\ x = \rho(t) \cos t \end{cases} \]参数方程转极坐标方程
注意到在极坐标系中, 点的表示为
\[ \begin{aligned} \ell &= \sqrt{x^2 + y^2} \\ \theta &= \arctan \frac{y}{x} \end{aligned} \]于是将参数方程带入即可得出 \(\ell, \theta\) 与 \(t\) 的关系, 设 \(\ell = p(t), \theta = \arctan q(t)\), 则
\[ \ell = p \circ q^{-1}(\tan \theta) \]