存在向量三重积公式
\[ \mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c} \]设向量为：
\[ \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3), \quad \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3), \quad \mathbf{c} = (c_1, c_2, c_3). \]\[ \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \begin{pmatrix} b_2 c_3 - b_3 c_2 \\ b_3 c_1 - b_1 c_3 \\ b_1 c_2 - b_2 c_1 \end{pmatrix} \]\[ \mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \begin{pmatrix} a_2 (b_1 c_2 - b_2 c_1) - a_3 (b_3 c_1 - b_1 c_3) \\ a_3 (b_2 c_3 - b_3 c_2) - a_1 (b_1 c_2 - b_2 c_1) \\ a_1 (b_3 c_1 - b_1 c_3) - a_2 (b_2 c_3 - b_3 c_2) \end{pmatrix} \]展开并整理各分量：
- 第一分量：
- 第二分量：
- 第三分量：
观察到每个分量中缺少 \(a_{1} b_{1} c_{1}\)（第一分量）、\(a_{2} b_{2} c_{2}\)（第二分量）、\(a_{3} b_{3} c_{3}\)（第三分量）
添加这些项后，表达式可统一写为：
\[ \mathbf{b} (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{c} (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \]