Border & pi 函数
一些定义
- 字符串 \(S\) 的真前/后缀为非自身的前/后缀。
- 字符串 \(S\) 的 border为 \(S\) 的公共真前/后缀。
- 字符串 \(S\) 的最长 border 为 \(\pi\)，对于 \(S\) 的每个前缀 \(S_{1 \sim i}\) 令 \(\pi_{i}\) 为其最长 border，\(\pi\) 函数就是所谓的前缀函数。
pi 函数的性质
- \(\forall i,\pi_{i+1}\leqslant \pi_{i}+1\)。
由反证法易知。
- 字符串 \(S\) 的所有 border 可以由 \(\pi_{|S|}\) 开始不断跳 \(\pi\) 由长度从大到小遍历。
只需证明 \(S_{1 \sim \pi_{\pi_{n}}}\) 是 \(S\) 的次长 border 即可。
由 \(\pi\) 的定义易知。
- 相邻前缀函数满足 \(\pi_{i + 1} = \max\limits_{T \ is \ the \ border \ of \ S_{1 \sim i}, S_{i + 1} = S_{|T| + 1}} |T| + 1\)。
使用反证法易知。
pi 函数的线性求法
有了上述几条性质，我们可以得到一个求解 \(\pi\) 函数的算法：
pi[0] = -1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = pi[i - 1]; j >= 0; j = pi[j])
if (s[j + 1] == s[i]) { pi[i] = j + 1; break; }
直观感受上这个做法是 \(\Theta(n^{2})\) 的，但实际上它是线性的，复杂度证明如下：
不难发现复杂度来源在于跳 \(\pi\)，下面我们将证明跳 \(\pi\) 的总次数是线性的。
注意 \(\pi_{i}\) 的位置变化情况，不难发现 \(\pi_{i}\) 只会每次 \(+1\) 或往前跳若干次，但往前跳的的总距离不能超过当前 \(+1\) 的次数，故总路程也是线性的。
pi 函数的基本应用
字符串匹配
求解模式串 \(T\) 在匹配串 \(S\) 中的出现位置的问题。
构造一个新的字符串 \(T\circ S\)，其中 \(\circ\not\in S\cup T\)，它仅作为一个分隔符。
对这个新的字符串求其 \(\pi\) 函数，不难发现由于分隔符的出现，\(\forall i, \pi_{i} \leqslant |T|\)，于是找到 \(\pi_{i} = |T|\) 的位置，\(i - |T| + 1 \sim i\) 就是一个匹配。
以上即为 \(\rm KMP\) 算法。
统计每个前缀的出现次数
考虑到如果某个前缀在之后的位置里出现过，那么一定是某个前缀的 border，于是我们考虑在每个数的最大 border 处统计答案，其为更小 border 的重复次数，并且更小的 border 一定可以通过跳 \(\pi\) 遍历到，这样只需要从后往前扫一遍，复杂度 \(\Theta(n)\)。
for (int i = 1; i <= n; i++) ans[i] = 1;
for (int i = n; i >= 1; i--) ans[pi[i]] += ans[i];
至于这个问题的加强版，统计 \(S\) 中的每个前缀在 \(T\) 中的出现次数，可以构造 \(S\#T\)，赋初值的时候只需要将 \(T\) 中的位置初始化为 \(1\) 即可。
统计本质不同子串的数目
考虑迭代计算，问题转化成：在当前字符串的末尾加入一个新的字符，以这个字符结尾的后缀中有多少个是前面没有出现过的。
如果一个子串 \(S_{i\sim n}\) 在前面出现过，则 \(\forall j\geqslant i,S_{j\sim n}\) 都在前面出现过。
由反证法易知。
于是就只需求出加入新字符后的串的反串中的 \(\max\pi\) 即可，而这个字符的贡献就是 \(|S|+1-\max\pi\)，时间复杂度 \(\Theta(n^{2})\)。
字符串周期相关性质
称 \(k\) 为 \(S\) 的一个周期且仅当 \(\forall i\leqslant |S|-k, S_{i} = S_{i + k}\)，特别地若 \(k \nmid S\) 则称 \(k\) 为 \(S\) 的弱周期。
- 若字符串 \(S\) 存在一个 border \(T\)，当且仅当 \(S\) 存在一个长度为 \(|S| - |T|\) 的（弱）周期。
必要性显然，充分性递归论证即可。
- 字符串 \(S\) 的最短（弱）周期长度为 \(n - \pi_{n}\)。
由 \(\pi\) 函数的定义易知。
- 若长度不小于 \(p + q\) 的字符串 \(S\) 存在长度分别为 \(p, q\) 的（弱）周期，那么 \(\gcd(p, q)\) 也是 \(S\) 的一个（弱）周期。
下面首先证明 \(p - q(p \gt q)\) 也是 \(S\) 的一个（弱）周期。
分两种情况讨论：
- 若 \(i \leqslant q\)，则 \(S_{i} = S_{i + p} = S_{i + p - q}\)，可知 \(\forall i \leqslant q, p - q\) 是其一个（弱）周期。
- 若 \(i \gt q\)，则 \(S_{i} = S_{i - q} = S_{i + p - q}\)，可知 \(\forall i \gt q, p - q\) 是其一个（弱）周期。
证明 \(p - q\) 是 \(S\) 的一个（弱）周期后，根据更相减损术的性质，最终可以迭代至 \(\gcd(p, q)\) 是 \(S\) 的一个（弱）周期。
- 所有强周期的长度均为最短强周期长度的倍数。
若存在一个强周期 \(x\)，显然有 \(x\mid n\)，若 \(n-\pi_{n}\nmid x\)，则 \(\gcd(n-\pi_{n},x)\lt n-\pi_{n}\) 也为一个强周期，与 \(n-\pi_{n}\) 是最小强周期矛盾。
- 字符串 \(S\) 存在周期当且仅当 \(n - \pi_{n}\) 为一个周期。
必要性显然。若存在强周期 \(x\mid n\)，又因为 \(n-\pi_{n}\mid x\)，则 \(n-\pi_{n}\mid n\)，充分性得证。
KMP 自动机
在求 \(\pi\) 函数的时候，我们发现这个做法是支持在线插入一个字符在末尾并计算函数值的。
并且在做 \(\rm KMP\) 的过程中我们发现，在匹配串每一位求 \(\pi\) 函数时，并不关心之前匹配串的字符是什么，只关心之前的 \(\pi\) 函数值和当前位的字符。
这意味着可以对一个模式串建立一个自动机，结点 \(i\) 表示当前节点的 \(\pi\) 值为 \(i\)，新加入一个节点的出边 \(c\) 指向跳 \(\pi\) 时第一个能够匹配的结点。暴力建这个自动机的复杂度为 \(\Theta(n^{2}|\Sigma|)\)，因为出边需要遍历 \(\Sigma\)，所以不存在求 \(\pi\) 函数时指针单方向移动的性质。
但是实际上之前已经计算了从所有节点开始，以任意一个字符为出边会到哪个节点，故可以直接调用。具体规则为，记 \(f_{i,c}\) 表示从 \(i\) 号节点开始，字符 \(c\) 会到达的节点。如果当前到达了节点 \(i\) ，字符为 \(c\)，则如果 \(c=s_{i+1}\)，那么当前节点指向 \(i+1\)，否则指向 \(f_{\pi_{i},c}\)。时间复杂度 \(\Theta(n|\Sigma|)\)。
同 \(\rm KMP\) 算法一样，\(\rm KMP\) 自动机也可以用来实现若干文本串和模式串的匹配，文本串从节点 \(0\) 开始走，每次走到 \(|S|\) 都完成了一次匹配。若模式串长度为 \(m\)，文本串长度为 \(n\)，数量为 \(t\)，则时间复杂度为 \(\Theta(m+tn|\Sigma|)\)。
另一方面，\(\rm KMP\) 自动机在完成普通字符串匹配时表现并不优秀，但它可以求解一些特殊的字符串匹配问题，如：
定义 \(g_{1}="a"\)，\(g_{2}="aba"\)，\(g_{3}="abacaba"\cdots \forall i,g_{i}=g_{i-1}+(char)i+g_{i-1}\)。 给定另一字符串 \(S\) 和整数 \(k\)，求 \(S\) 在 \(g_{k}\) 中的匹配次数。保证 \(|S|\times k\leqslant 10^{6}\)。
显然题目是要求从 \(0\) 号节点开始对 \(g_{k}\) 进行匹配，经过 \(|S|\) 号节点的次数是多少。
首先对 \(S\) 建立 \(\rm KMP\) 自动机，记 \(f_{i,j}\) 表示从 \(i\) 号节点开始对 \(g_{j}\) 进行匹配后经过 \(|S|\) 号节点的次数。记 \(k_{i,S}\) 表示从 \(i\) 号节点开始，匹配完字符串 \(S=g_{i}+(char)i\) 后停下来的结点，那么有 ：
\[ f_{i,j}=f_{i,j-1}+[k_{i,g_{j-1}+(char)(j-1)}=|S|]+f_{k_{i,g_{j-1}+(char)(j-1)},j-1} \]总时间复杂度 \(\Theta(|S|\times k)\)。
另外，由于单次添加结点的复杂度是严格 \(\Theta(|\Sigma|)\) 的，所以可以对 \(\rm KMP\) 自动机进行可持久化处理，总时间复杂度 \(\Theta(n|\Sigma|\log n)\)。
考虑对模式串建立 \(\rm KMP\) 自动机。
令 \(f_{i,j}\) 表示对字符串匹配到第 \(i\) 位时，跳到自动机的 \(j\) 号点匹配的次数最大值，显然有转移：
\[ f_{i, to} = \begin{cases} \max\{f_{i-1, j} + [to = m]\} & (s_i \not= '?') \\ \max\limits_{k = 0}^{25}\{f_{i-1, j} + [to = m]\} & (s_i = '?') \end{cases} \]由于 \(\rm DP\) 空间开不下，需要使用滚动数组。
时间复杂度 \(\Theta(|S||T||\Sigma|)\)。
