2-SAT 问题

Sat, 24 Jun 2023 11:00:56 +0000

求解 2-SAT 问题

\(2-\rm Sat\) 问题是求解某个 \(\rm bool\) 方程组，方程组中的每个方程被描述为：\(x_{i}\) 为真\(/\)假或 \(x_{j}\) 为真\(/\)假。

我们可以对每个 \(x_{i}\) 和 \(\lnot x_{i}\) 分别建点，\(x_{i}\) 为假看作 \(\lnot x_{i}\) 为真，这样方程就仅有一种类型了，即若 \(p\) 为真则 \(q\) 为真。具体来说，建一些边 \(u\to v\) 表示当 \(u\) 为真的时候 \(v\) 一定为真，比如有方程 \(p\) 为真或 \(q\) 为真时，建两条边 \(p\to \lnot q\) 和 \(q\to \lnot {p}\)。

建完图后，显然同一个强连通分量中的点取值必然相同，那么如果 \(a\) 和 \(\lnot a\) 在同一个强连通分量里则该 \(\rm bool\) 方程组无解。易知，存在 \(a\) 和 \(\lnot a\) 在同一个强连通分量中为该 \(\rm bool\) 方程组无解的充要条件。

对于其它的点，每对 \(a\) 和 \(\lnot a\) 中有且仅有一个为真，我们令拓扑序大的那个为真。可以分情况证明其最优性：

若 \(a\) 和 \(\lnot a\) 在 \(\rm DAG\) 的同一条链上，那么拓扑序大的必然为真，否则两个都为真与题意相悖。
若 \(a\) 和 \(\lnot a\) 在不同链上，那么两个点的取值其实无所谓，但一定要跟拓扑序相关。因为每条链上拓扑序的大小关系时严格的，用拓扑序规定某个点取值是否为真可以使为真的点在同一条链上，尽可能降低对其他点的影响。另外，为了保证跟上一种情况的统一性，仍选择令拓扑序大的点为真。

另一方面，我们发现 \(\rm Tarjan\) 缩点所求出的 \(\rm SCC\) 强连通分量数组的值负相关，可以理解为拓扑序更小的点更后入栈，也更先出栈编号。故最后对比 \(a\) 和 \(\lnot a\) 的 \(\rm SCC\) 值即可判断它们谁为真谁为假。

经典例题

[LG6378] Riddle

对树上每个点建立一个 \(\rm bool\) 变量，取值为 \(1\) 表示这个点选。

使用 \(\rm 2-Sat\) 的通用做法，建立为每个点的状态建立两个点 \(u\) 和 \(\lnot u\)，分别对每个限制考虑：

每条边至少有一个关键点，则对于一条边 \(u-v\) 若 \(\lnot u\) 则 \(v\)，若 \(\lnot v\) 则 \(u\)，故连接 \(\lnot u\to v\) 和 \(\lnot v\to u\)。
每个部分最多有一个关键点，则如果 \(u\) 被选了，那么同一个块中所有点都不能选，连接 \(u\to \lnot v\)。但是我们发现这样连边是 \(\Theta(n^{2})\) 的，所以前缀和优化连边即可。

建好图以后直接跑 \(\rm 2-Sat\)，时间复杂度 \(\Theta(n)\)。

[POI2011] KON-Conspiracy

首先转化题意，这道题要求的是将一张无向图划分成一个团和一个独立集的方案数。

首先找出一种合法的方案是很容易的，是一个裸的 \(\rm 2-Sat\) 问题。

考虑找出一种方案后统计方案数。首先有如下性质：

一个团中不可能取出一个以上的点加入独立集，因为两点之间必有连边。

一个独立集中不可能取出一个以上的点加入团，因为两点之间必无连边。

所以可以直接分别枚举团和独立集中的每个点，交换它们即可。

时间复杂度 \(\rm \Theta(n^{2})\)。

[北京省选集训 2019] 完美塔防

首先预处理哪些炮台会互相打到，若存在，则输出 IMPOSSIBLE.

然后发现有如下结论：

每个空地最多可以被两个炮台打到。因为每个空地最多在纵横两个方向上被打到，若还存在一个，则必定会打到其中一个炮台。

于是对每个炮台，它的纵横情况设为 \(0/1\)，每个空地会加入一个形如 \(a\ or\ b\) 的条件，这就变成了经典的 \(\rm 2-Sat\) 问题。

时间复杂度 \(\Theta(Tn^{3})\)。

[HNOI2010] 平面图判定

首先有平面图中的欧拉定理，设一张无向连通图点数为 \(v\)，边数为 \(e\)，面数为 \(f\)，则有：

\[ v-e+f=2 \]

考虑通过对 \(e\) 进行归纳证明该式。

当 \(e=0\) 时显然成立。

若当 \(e'=e-1\) 时该式成立，我们要证 \(v-e+f=1\) 成立只需证添加一条边会使得面数恰好增加 \(1\)。而对于这个问题，我们可以分类讨论，若这条边加在某个面的中间，那么其必将这个面分成两半，若这条边加在图形外面，那么会围出一块新的区域，也会使面数恰好增加 \(1\)。

故该式成立。

我们进一步探究平面图的性质。定义面的度数为与其相邻的面的数量，显然对于每条边都会有恰好两个面与其相邻，故所有面的度数之和为 \(2e\)。又因为每个面至少三条边，所以度数不小于 \(3\)，进而有 \(3f\) 不大于所有面的度数之和，故有 \(3f\leqslant 2e\)，将其带入平面图中的欧拉定理可得：

\[ e\leqslant 3v-6 \]

于是不满足该式的无向连通图均不为平面图，进而可以将 \(m\) 限制到与 \(n\) 同数量级。

我们发现题目给定了哈密顿回路，于是考虑以这个环作为中心考虑问题。

我么发现对于任意一条边，它要么从环内连接，要么从环外连接，并且如果有两条边 \(u-v\) 和 \(u'-v'\)，且满足 \(u\lt u'\lt v\lt v'\)，那么它们不能连在同一面。于是可以通过这种关系构建 \(\rm 2-Sat\) 模型。

时间复杂度 \(\Theta(Tn)\)。