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微分方程

Tue, 14 Jan 2025 00:00:00 +0000

I. 可分离变量的微分方程

\[ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = p(x)q(y) \]

直接分离变量得

\[ p(x) \mathrm{d} x = \frac{1}{q(y)} \mathrm{d} y \]

对两边积分即有

\[ \int p(x) \mathrm{d} x = \int \frac{1}{q(y)} \mathrm{d} y \]

齐次微分方程

\[ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \varphi \left(\frac{y}{x}\right) \]

设 \(u = \dfrac{y}{x}\), 则有

\[ \frac{\mathrm{d} (u x)}{\mathrm{d} x} = \varphi(u) \]

整理得

\[ \int \frac{\mathrm{d} u}{\varphi (u) - u} = \int \frac{\mathrm{d} x}{x} \]

最后将 \(u = \dfrac{y}{x}\) 回代即得原方程的解.

需要注意的是, 求解方程的过程中可能会丢失一些解, 需要考虑一些边界情况.

II. 一阶线性微分方程

\[ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + p(x) y = q(x) \tag{2.1} \]

齐次方程的通解

当 \(q(x) \equiv 0\) 时, 该方程称为一阶齐次线性微分方程, 可求其通解.
\[ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + p(x) y = 0 \]

考虑直接分离变量

\[ \frac{\mathrm{d} y}{y} = -p(x) \mathrm{d} x \]

两边积分并整理得

\[ y = C \exp\left(-\int p(x) \mathrm{d} x\right) \]

非齐次方程的特解

当 \(q(x) \not\equiv 0\) 时, 该方程称为一阶非齐次线性微分方程, 可先求其对应齐次方程的通解, 再求非齐次方程的一个特解, 两者相加即得该非齐次方程的通解.

对式 (2.1) 两边同时除以 \(y\), 并整理得

\[ \frac{\mathrm{d} y}{y} = -p(x) \mathrm{d} x + \frac{q(x)}{y} \mathrm{d} x \]

两边积分并化简得

\[ y = C \exp\left(-\int p(x) \mathrm{d} x + \int \frac{q(x)}{y} \mathrm{d} x \right) \]

设 \(c(x) = C \exp\left(\displaystyle \int \frac{q(x)}{y} \mathrm{d} x \right)\), 将其带入即有

\[ y = c(x) \exp(-\int p(x) \mathrm{d} x) \tag{2.2} \]

将上式带入式 (2.1) 得

\[ c'(x) \exp(-\int p(x) \mathrm{d} x) - c(x) \exp(-\int p(x) \mathrm{d} x) p(x) + p(x) c(x) \exp(-\int p(x) \mathrm{d} x) = q(x) \]

注意到中间两项是可以消去的, 于是

\[ c'(x) = q(x) \exp(\int p(x) \mathrm{d} x) \]

两边积分得

\[ c(x) = \int q(x) \exp(\int p(x) \mathrm{d} x) + C \]

将 \(c(x)\) 的表达式带入式 (2.2) 即得方程 (2.1) 的一个特解(消去 \(C\) 是因为常数项已经在通解中刻画了)

\[ y^{\ast} = \exp(-\int p(x) \mathrm{d} x) \int q(x) \exp(\int p(x) \mathrm{d} x) \]

结合齐次方程的通解, 则方程 (2.1) 的通解为

\[ y = C \exp\left(-\int p(x) \mathrm{d} x\right) + \exp(-\int p(x) \mathrm{d} x) \int q(x) \exp(\int p(x) \mathrm{d} x) \]

伯努利方程

\[ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + p(x) y = q(x) y^n \]

两边同时除以 \(y^{n}\) 即得

\[ y^{-n}\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + p(x) y^{1-n} = q(x) \]

设 \(Y = y^{1-n}, P(x) = (1-n)p(x), Q(x) = (1-n)q(x)\), 将两边同乘 \((1-n)\) 即得

\[ \frac{\mathrm{d} Y}{\mathrm{d} x} + P(x) Y = Q(x) \]

容易套用「一阶线性微分方程」的解法.

III. 可降阶的高阶微分方程

变量分离

\[ y^{(n)} = f(x) \]

两边同时做 \(n\) 次积分即可, 最后结果形如

\[ y = \int \left(\int \cdots \left(\int f(x) \mathrm{d} x\right) \cdots \mathrm{d} x \right)\mathrm{d} x + C_1 x^{n - 1} + C_2 x_{n - 2} + \cdots + C_n \]

无显式原函数

\[ y'' = f(x, y') \]

设 \(y' = g(x)\), 则原式化为一阶微分方程

\[ g'(x) = f(x, g(x)) \]

解得

\[ g(x) = \varphi(x, C_1) \]

积分即得

\[ y = \int g(x) \mathrm{d} x + C = \int \varphi(x, C_1) \mathrm{d} x + C_2 \]

无显式自变量

\[ y'' = f(y, y') \]

设 \(y' = p(y)\), 则

\[ y'' = \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = p(y) \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y} \]

回代得

\[ \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y} = \frac{f(y, p(y))}{p(y)} \]

设其通解为 \(p(y) = \varphi(y, C_{1})\), 则分离变量后积分可得

\[ \int \frac{\mathrm{d} y}{\varphi(y, C_1)} = x + C_2 \]

IV. 常系数线性微分方程

研究「常系数线性微分方程」一般以二阶微分方程为主, 形如

\[ y'' + py' + qy = f(x) \]

二阶常系数齐次线性微分方程

对于方程

\[ y'' + py' + qy = 0 \]

注意到 \(\mathrm{e}^{rx}\) 与其导数只差常数因子, 于是设 \(y = \mathrm{e}^{rx}\) 即得

\[ (r^2 + pr + q)\mathrm{e}^{rx} = 0 \]

称 \(r^{2} + pr + q = 0\) 为原方程的「特征方程」, 求出来的根称为「特征根」.

注意到方程的通解可以用两个线性无关的特解的线性组合刻画(此处不加以证明), 于是考虑根据特征根构造两个特解.

当特征方程 \(\Delta \gt 0\) 时, 存在两相异实根 \(r_{1}, r_{2}\), 则该微分方程的通解为

\[ y = C_1\mathrm{e}^{r_1 x} + C_2 \mathrm{e}^{r_2x} \]

当特征方程 \(\Delta = 0\) 时, 存在两相同实根 \(r_{1} = r_{2}\), 则该微分方程有一个特解 \(y_{1} = \mathrm{e}^{r_{1} x}\).

设另一特解 \(y_{2} = y_{1} u(x) = \mathrm{e}^{r_{1} x}u(x)\), 将其带入方程得

\[ \mathrm{e}^{r_1x}\left( (u''(x) + 2r_1 u'(x) + {r_1}^2 u(x)) + p(u'(x) + r_1 u(x)) + qu(x) \right) = 0 \]

化简得

\[ u''(x) + (2r_1 + p)u'(x) + ({r_1}^2 + pr_1 + q) u(x) = 0 \]

由于 \(r_{1} = -\dfrac{p}{2}\) 且其为方程 \({r_{1}}^{2} + pr_{1} + q = 0\) 的根, 于是解得

\[ u''(x) = 0 \]

取 \(u(x) = x\) 即得特解 \(y_{2} = x \mathrm{e}^{r_{1} x}\), 结合特解 \(y_{1}\) 即有原方程通解

\[ y = \left( C_1 + C_2 x \right) \mathrm{e}^{r_1 x} \]

当特征方程 \(\Delta \lt 0\) 时, 存在一对共轭复根 \(r_{1} = \alpha + i\beta, r_{2} = \alpha - i \beta\).

此时原方程有两个解

\[ y = \exp \left( (\alpha \pm i\beta) x \right) \]

运用欧拉公式 \(\mathrm{e}^{i \theta} = \cos\theta + i\sin \theta\) 得到

\[ y = \mathrm{e}^{\alpha x} \left( \cos \beta x \pm i \sin \beta x \right) \]

通过线性组合构造两个线性无关的解

\[ \begin{aligned} y_1 &= \frac{1}{2} \sum y = \mathrm{e}^{\alpha x} \cos \beta x \\ y_2 &= \frac{1}{2i} \Delta y = \mathrm{e}^{\alpha x} \sin \beta x \end{aligned} \]

于是原方程的通解为

\[ y = \mathrm{e}^{\alpha x} \left( C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x \right) \]

以上结论均可推广到高阶情形.

二阶常系数非齐次线性微分方程

对形如下式的微分方程

\[ y'' + py' + qy = \mathrm{e}^{\lambda x} f(x) \]

根据前面的经验, 我们只需要求出该方程的一个特解.

设特解 \(y^{\ast} = \mathrm{e}^{\lambda x} g(x)\), 则有

\[ \begin{aligned} \left(y^{\ast}\right)^{\prime} &= \mathrm{e}^{\lambda x} (\lambda g(x) + g'(x)) \\ \left(y^{\ast}\right)^{\prime\prime} &= \mathrm{e}^{\lambda x} (\lambda^2 g(x) + 2\lambda g'(x) + g''(x)) \end{aligned} \]

带入原方程并化简得

\[ g''(x) + (2\lambda + p) g'(x) + (\lambda^2 + p\lambda + q) g(x) = f(x) \tag{4.1} \]

注意到当 \(\lambda\) 分别为特征方程的 \(k = 0, 1, 2\) 重根的时候, \(g(x)\) 和 \(g'(x)\) 对应项会依次变为 \(0\). 这意味着当 \(k\) 取 \(0, 1, 2\) 时, \(g(x), g'(x)\) 和 \(g''(x)\) 需要分别为与 \(f(x)\) 同次数的多项式, 于是不妨设 \(r(x)\) 为与 \(f(x)\) 同次数的待定系数多项式, 特解即为

\[ y^{\ast} = g(x)\mathrm{e}^{\lambda x} = x^k r(x)\mathrm{e}^{\lambda x} \]

将其带入式 (4.1) 中即可算出 \(r(x)\) 的各系数, 进而得到方程的一个特解.

对形如下式的微分方程

\[ y'' + py' + qy = \mathrm{e}^{\lambda x} \left( f(x) \cos \omega x + g(x) \sin \omega x \right) \]

应用欧拉公式将等式右侧化为

\[ \begin{aligned} h(x) &= \mathrm{e}^{\lambda x} \left( f(x) \cos \omega x + g(x) \sin \omega x \right) \\ &= \mathrm{e}^{\lambda x} \left( f(x) \frac{\mathrm{e}^{\omega x i} + \mathrm{e}^{-\omega x i}}{2} + g(x) \frac{\mathrm{e}^{\omega x i} - \mathrm{e}^{-\omega x i}}{2i} \right) \\ &= \left( \frac{f(x)}{2} + \frac{g(x)}{2i} \right) \mathrm{e}^{(\lambda + \omega i) x} + \left( \frac{f(x)}{2} - \frac{g(x)}{2i} \right) \mathrm{e}^{(\lambda - \omega i) x} \\ &= h_1(x) \mathrm{e}^{(\lambda + \omega i) x} + h_2(x) \mathrm{e}^{(\lambda - \omega i) x} \end{aligned} \]

其中 \(h_{1}(x)\) 和 \(h_{2}(x)\) 为从 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 线性组合得到的函数, 且对应项系数共轭.

设 \(\lambda + \omega i\) 是特征方程的 \(k\) 重根(\(k = 0, 1\)), 则方程

\[ y'' + py' + qy = h_1(x) \mathrm{e}^{(\lambda + \omega i) x} \]

有特解

\[ {y_1}^{\ast} = x^k r(x) \mathrm{e}^{(\lambda + \omega i) x} \tag{4.2} \]

设 \(m\) 为 \(f(x), g(x)\) 中次数较大者的次数, \(r(x)\) 是待定系数的 \(m\) 次多项式. 对式 (4.2) 两边取共轭即得

\[ \left({y_1}^{\ast}\right)^{\prime\prime} + p\left({y_1}^{\ast}\right)^{\prime} + q({y_1}^{\ast}) \equiv h_1(x) \mathrm{e}^{(\lambda + \omega i) x} = h_2(x) \mathrm{e}^{(\lambda - \omega i) x} \]

因此 \({y_{2}}^{\ast} = ({y_{1}}^{\ast})\) 为以下方程的特解

\[ y'' + py' + qy = h_2(x) \mathrm{e}^{(\lambda - \omega i) x} \]

于是原方程的特解可以用两部分的特解之和来刻画, 即

\[ \begin{aligned} y^{\ast} &= {y_1}^{\ast} + {y_2}^{\ast} \\ &= x^k \mathrm{e}^{\lambda x} \left( r(x) \mathrm{e}^{i\omega x} + (r(x))\mathrm{e}^{-i\omega x} \right) \\ &= x^k \mathrm{e}^{\lambda x} \left( r_1(x) \cos \omega x + r_2(x) \sin \omega x \right) \end{aligned} \]

从上述推到中我们可以发现 \(y^{\ast}\) 实则是个实函数, 于是 \(r_{1}\) 和 \(r_{2}\) 也均为 \(m\) 次实多项式.

综上, 对于微分方程

\[ y'' + py' + qy = \mathrm{e}^{\lambda x} \left( f(x) \cos \omega x + g(x) \sin \omega x \right) \]

可以设特解为

\[ y^{\ast} = x^k \mathrm{e}^{\lambda x} \left( r_1(x) \cos \omega x + r_2(x) \sin \omega x \right) \]

然后代入原方程解出待定系数. 该结论也可推广到高阶形式.

多次取 (0, 1) 之间的随机实数, 期望多少次后其和恰不小于 1

Tue, 27 Aug 2024 19:42:49 +0000

设事件 \(\omega_{n}\) 表示随机取 \(n\) 个 \((0, 1)\) 中的实数, 其和小于 \(1\).

\[ \begin{aligned} E &= \sum_{n = 1}^{\infty} n P(\omega_{n - 1} \overline{\omega_n}) \\ &= \sum_{n = 1}^{\infty} n \left[ P(\omega_{n - 1}) - P(\omega_{n - 1}\omega_n) \right] \\ &= \sum_{n = 1}^{\infty} n \left[ P(\omega_{n - 1}) - P(\omega_n) \right] \\ &= 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} P(\omega_n) \end{aligned} \]

考虑根据定义求 \(\omega_{n}\):

\[ \omega_n = \int_{0}^1 \mathrm{d}x_1 \int_{0}^{1 - x_1} \mathrm{d}x_2 \int_{0}^{1 - x_1 -x_2} \mathrm{d}x_3 \cdots \int_{0}^{1 - \sum_{i \lt n} x_i} \mathrm{d}x_n \]

将 \(1\) 用形式变量 \(x\) 代替, 即得

\[ \omega_n(x) = \int_{0}^x \mathrm{d}x_1 \int_{0}^{x - x_1} \mathrm{d}x_2 \int_{0}^{x - x_1 -x_2} \mathrm{d}x_3 \cdots \int_{0}^{x - \sum_{i \lt n} x_i} \mathrm{d}x_n \]

考虑寻找 \(\omega_{n + 1}\) 和 \(\omega_{n}\) 之间的关系, 有

\[ \omega_{n + 1}(x) = \int_{0}^{x} \omega_n(x - x_{n + 1}) \mathrm{d}x_{n + 1} \]

注意到在积分内部, \(\mathrm{d}(x - x_{n + 1})\) 与 \(\mathrm{d}x_{n + 1}\) 实际上是等价的, 于是得到递推式

\[ \omega_{n + 1}(x) = \int_{0}^{x} \omega_n(t) \mathrm{d}t \]

根据定义 \(\omega_{1}(x) = x\), 于是归纳得

\[ \omega_{n}(x) = \int_{0}^{x} \frac{t^{n - 1}}{(n - 1)!} \mathrm{d}t = \frac{x^n}{n!} \]

将 \(x\) 换回 \(1\), 回代得

\[ E = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n!} = \mathrm{e} \]

一类贝叶斯定理相关积分的变换技巧

Tue, 09 Apr 2024 16:43:16 +0000

考虑非负实数域上某可用条件概率刻画的期望：

\[ E(x) = \int_{0}^{+\infty} xP(t = x|q) \mathrm{d}x \]

其中 \(q\) 为已知，且 \(P(q|t = x)\) 是可用初等函数刻画的，于是：

考虑贝叶斯定理：

\[ E(x) = \int_{0}^{+\infty} x\frac{P(q|t = x)P(t = x)}{P(q)} \mathrm{d}x \]

观察发现对 \(x\) 微分本质上就是在枚举每个 \(t = x\) 的情况，于是 \(P(t = x)\) 已经被 \(\mathrm{d}x\) 包含，可以看作 \(1\)，故

\[ E(x) = \int_{0}^{+\infty} x\frac{P(q|t = x)}{P(q)} \mathrm{d}x \]

大多数情况下，哪怕 \(P(q)\) 可以用初等函数刻画，整个式子也会难以化简，于是考虑拆 \(P(q)\)：

\[ E(x) = \int_{0}^{+\infty} x\frac{P(q|t = x)}{\int_{0}^{+\infty} P(q|t = y) \mathrm{d}y } \mathrm{d}x \]

整理可得

\[ E(x) = \frac{\int_{0}^{+\infty} xP(q|t = x) \mathrm{d}x}{\int_{0}^{+\infty} P(q|t = x) \mathrm{d}x } \]

设 \(P(q|t = x) = f(x)\)，其中 \(f(x)\) 是初等函数，又设 \(\delta\) 为积分算子（即 \([\delta f(x)]' = f(x)\) ），即得

\[ E(x) = \frac{\int_{0}^{+\infty} xf(x) \mathrm{d}x}{\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x } = \lim_{\varepsilon \to 0^+}^{m \to +\infty}\frac{\delta mf(m) - \delta \varepsilon f(\varepsilon)}{\delta f(m) - \delta f(\varepsilon)} \]

常见函数图像

Sat, 24 Jun 2023 11:00:56 +0000

注意需要从定义域，奇偶性，单调性，特殊点，趋势等方面分析。

y = x e^x

首先容易知道 \(y = xe^{x}\) 的定义域为 \(\mathbb{R}\)。

然后考虑对其求导，得到 \(y' = e^{x}(x + 1)\)。

可以发现 \(e^{x}\) 恒大于 \(0\)，\(x + 1\) 在 \(x\) 小于 \(-1\) 时小于 \(0\)，在 \(x\) 不小于 \(-1\) 时不小于 \(0\)。

于是我们可以初步以 \((1, -\frac{1}{e})\) 作为分界点，继续分析。

当 \(x \lt -1\) 时，可以发现 \(e^{x}\) 变小得越来越慢，并且导数为负，所以函数从 \((1, -\frac{1}{e})\) 开始向左以 \(x\) 轴为渐近线递增。
当 \(x \gt -1\) 时，可以发现 \(e^{x}\) 增长得很快，与 \(x + 1\) 完全不是一个量级的，于是函数图像主要由 \(e^{x}\) 产生影响，画出的图像与指数函数类似，要稍微陡一点点。

另外一个需要注意的是，函数过点 \((0, 0)\)。

y = e^x / x

首先容易知道 \(y = \frac{e^{x}}{x}\) 的定义域为 \(\mathbb{R}\backslash\{0\}\)。

然后考虑对其求导，得到 \(y' = \frac{e^{x}(x - 1)}{x^{2}}\)，容易发现需要以 \(x = 0, 1\) 作为分界点进行分析：

当 \(x \lt 0\) 时，在靠左边的地方 \(e^{x}\) 的影响非常大，于是往左的函数图像与 \(y = xe^{x}\) 类似。但是在接近 \(x = 0\) 的地方 \(e^{x}\) 的影响较小，剩下部分的结构与 \(\frac{1}{x}\) 类似，于是函数图像也是类似的。
当 \(0 \lt x \lt 1\) 时，在接近 \(x = 0\) 的地方 \(e^{x}\) 的影响较小，剩下部分的结构与 \(\frac{1}{x}\) 类似，于是函数图像也是类似的。
当 \(x \gt 1\) 时， \(e^{x}\) 的影响逐渐变大，于是函数图像类似于指数函数，要稍微缓一点点。

y = x / e^x

首先容易知道 \(y = \frac{x}{e^{x}}\) 的定义域为 \(\mathbb{R}\)。

然后考虑对其求导，得到 \(y' = \frac{1 - x}{e^{x}}\)，容易发现需要以 \(x = 1\) 作为分界点进行分析。分析过程与 \(y = xe^{x}\) 类似（所以图像也是类似的），此处不做赘述。

y = x ln x

首先容易知道 \(y = x \ln x\) 的定义域为 \(\mathbb{R}^{+}\)。

然后对其求导，得到 \(y' = \ln x + 1\)。

可以发现从 \(x = 0\) 开始，\(y'\) 从 \(- \infty\) 开始快速增大，在 \(\frac{1}{e}\) 处取到 \(0\)，然后继续缓慢增大。

于是 \(y\) 一开始快速下降，在 \((\frac{1}{e}, -\frac{1}{e})\) 处取到最小值，然后加速上升，加速度略大于 \(y = x\)，远小于 \(y = x^{2}\)。

y = (ln x) / x

容易知道 \(y = \frac{\ln x}{x}\) 的定义域为 \(\mathbb{R}^{+}\)。

然后对其求导，得到 \(y' =\frac{1 - \ln x}{x^{2}}\)，容易发现需要以 \(x = 1, e\) 作为分界点进行分析。

当 \(0 \lt x \lt 1\) 时，往左 \(1 - \ln x\) 快速增大，\(x^{2}\) 快速缩小，于是 \(y'\) 总体快速增大，所以 \(y\) 从 \((1, 0)\) 开始向左以 \(y\) 轴为渐近线快速下降。
当 \(1 \lt x \lt e\) 时，\(1 - \ln x \gt 0, x^{2} \gt 0\)，并且 \(y'\) 的值不大，所以 \(y\) 从 \((1, 0)\) 开始缓慢上升，以 \((e, \frac{1}{e})\) 作为最高点。
当 \(x \gt e\) 时，\(1 - \ln x \lt 0, x^{2} \gt 0\)，并且 \(1 - \ln x\) 的下降速度远不如 \(x^{2}\) 的上升速度，于是 \(y' \lt 0\) 且以 \(0\) 为渐近线不断变大，体现在图像上即为 \(y\) 从 \((e, \frac{1}{e})\) 开始减速下降。

y = x / ln x

容易知道 \(y = \frac{x}{\ln x}\) 的定义域为 \(\mathbb{R}^{+} \backslash\{1\}\)。

然后对其求导，得到 \(y' = \frac{\ln x - 1}{\ln^{2} x}\)，容易发现需要以 \(x = 1, e\) 作为分界点进行分析。

当 \(0 \lt x \lt 1\) 时，\(\ln x - 1\) 始终小于 \(0\)，\(\ln^{2} x\) 始终大于 \(0\)。在靠近 \(x = 0\) 时，\(\ln x \to - \infty\)，故 \(\frac{\ln x - 1}{\ln^{2} x} \to \frac{1}{-\infty}\)，于是 \(y\) 下降幅度很小；在靠近 \(x = 1\) 时，\(\ln x \to 0\)，所以 \(\frac{\ln x - 1}{\ln^{2} x} \to -\infty\)，于是 \(y\) 下降幅度很大。
当 \(1 \lt x \lt e\) 时，\(\ln x - 1\) 始终小于 \(0\)，\(\ln^{2} x\) 始终大于 \(0\)。由于在 \(x\) 仅比 \(1\) 大一点点的时候 \(\ln x\) 非常接近 \(0\)，所以 \(y\) 从 \((1, +\infty)\)（一个虚拟的点）开始以非常快的速度下降，然后逐渐变得平缓，在 \((e, e)\) 取到最小值。
当 \(x \gt e\) 时，\(\ln x - 1\) 以缓慢的速度从 \(0\) 开始变大，\(\ln^{2} x\) 以比 \(\ln x\) 快一些，但仍然十分缓慢的速度从 \(1\) 开始变大。由于其结构上与 \(\frac{1}{\ln x}\) 十分类似，所以它以非常缓慢的速度减小。体现在图像上即为 \(y\) 不断上升，但上升速度越来越慢。