https://sichen-wang.github.io/tags/complexity-analysis/Complexity AnalysisHugoBlox Kit (https://hugoblox.com)en-usSat, 24 Jun 2023 11:00:56 +0000https://sichen-wang.github.io/media/icon_hu_9dfcb674aa885f38.pnghttps://sichen-wang.github.io/tags/complexity-analysis/https://sichen-wang.github.io/blog/%E5%A4%8D%E6%9D%82%E5%BA%A6%E5%88%86%E6%9E%90/Sat, 24 Jun 2023 11:00:56 +0000https://sichen-wang.github.io/blog/%E5%A4%8D%E6%9D%82%E5%BA%A6%E5%88%86%E6%9E%90/<h2 id="主定理">主定理</h2> <p>主定理 \(\rm(Master\ Theorem)\) 被用来求解一类递归算法的时间复杂度，假设有递推式形如:</p> \[ T(n) = aT\left(\frac{n}{b}\right) + f(n) \]<p>上式的含义是，存在一个规模为 \(n\) 的问题可以被划分成 \(a\) 个规模为 \(\frac{n}{b}\) 的问题，且将它们合并的运算复杂度为 \(f(n)\)。</p> <p>那么根据主定理，有 ：</p> \[ T(n) = \begin{cases} \Theta\left(n^{\log _{b} a}\right) & f(n)=O\left(n^{\log _{b} a-\epsilon}\right) \\ \Theta(f(n)) & f(n)=\Omega\left(n^{\log _{b} a+\epsilon}\right) \\ \Theta\left(n^{\log _{b} a} \log ^{k+1} n\right) & f(n)=\Theta\left(n^{\log _{b} a} \log ^{k} n\right), k \geq 0 \end{cases} \]