https://sichen-wang.github.io/tags/difference-constraints/Difference ConstraintsHugoBlox Kit (https://hugoblox.com)en-usSat, 24 Jun 2023 11:00:56 +0000https://sichen-wang.github.io/media/icon_hu_9dfcb674aa885f38.pnghttps://sichen-wang.github.io/tags/difference-constraints/https://sichen-wang.github.io/blog/%E5%B7%AE%E5%88%86%E7%BA%A6%E6%9D%9F/Sat, 24 Jun 2023 11:00:56 +0000https://sichen-wang.github.io/blog/%E5%B7%AE%E5%88%86%E7%BA%A6%E6%9D%9F/<p>差分约束是用来解形如 \(x_{1}-x_{2}\leqslant k\) 的若干个方程的算法。</p> <p>我们发现可以将方程移项成 \(x_{1}\leqslant x_{2}+k\)，解方程的时候考虑建图，从 \(x_{2}\) 向 \(x_{1}\) 连一条长度为 \(k\) 的边，然后对这张图建一个超级源点，向所有点连一条长度为 \(0\) 的边，最后跑最短/最长路得出的 \(dis\) 就是每个变量的一个取值。</p> <p>为什么这样做是对的呢？因为如果有一条 \(u\) 到 \(v\) 的长度为 \(w\) 的边，那么跑完最短路以后 \(dis_{v}\) 一定不大于 \(dis_{u} + w\)，恰好满足一个方程。那么将所有边连上以后再跑最短路就可以满足所有方程，最长路同理。</p> <p>另外，如果有负环则无解。</p> <p>时间复杂度 \(\Theta(\rm SPFA)\)。</p> <p><strong>需要注意的是，最短路求的是以起始点为基准的最大解，而最长路求的是以起始点为基准的最小解。</strong></p>