常见函数图像

Sat, 24 Jun 2023 11:00:56 +0000

注意需要从定义域，奇偶性，单调性，特殊点，趋势等方面分析。

y = x e^x

首先容易知道 \(y = xe^{x}\) 的定义域为 \(\mathbb{R}\)。

然后考虑对其求导，得到 \(y' = e^{x}(x + 1)\)。

可以发现 \(e^{x}\) 恒大于 \(0\)，\(x + 1\) 在 \(x\) 小于 \(-1\) 时小于 \(0\)，在 \(x\) 不小于 \(-1\) 时不小于 \(0\)。

于是我们可以初步以 \((1, -\frac{1}{e})\) 作为分界点，继续分析。

当 \(x \lt -1\) 时，可以发现 \(e^{x}\) 变小得越来越慢，并且导数为负，所以函数从 \((1, -\frac{1}{e})\) 开始向左以 \(x\) 轴为渐近线递增。
当 \(x \gt -1\) 时，可以发现 \(e^{x}\) 增长得很快，与 \(x + 1\) 完全不是一个量级的，于是函数图像主要由 \(e^{x}\) 产生影响，画出的图像与指数函数类似，要稍微陡一点点。

另外一个需要注意的是，函数过点 \((0, 0)\)。

首先容易知道 \(y = \frac{e^{x}}{x}\) 的定义域为 \(\mathbb{R}\backslash\{0\}\)。

然后考虑对其求导，得到 \(y' = \frac{e^{x}(x - 1)}{x^{2}}\)，容易发现需要以 \(x = 0, 1\) 作为分界点进行分析：

当 \(x \lt 0\) 时，在靠左边的地方 \(e^{x}\) 的影响非常大，于是往左的函数图像与 \(y = xe^{x}\) 类似。但是在接近 \(x = 0\) 的地方 \(e^{x}\) 的影响较小，剩下部分的结构与 \(\frac{1}{x}\) 类似，于是函数图像也是类似的。
当 \(0 \lt x \lt 1\) 时，在接近 \(x = 0\) 的地方 \(e^{x}\) 的影响较小，剩下部分的结构与 \(\frac{1}{x}\) 类似，于是函数图像也是类似的。
当 \(x \gt 1\) 时， \(e^{x}\) 的影响逐渐变大，于是函数图像类似于指数函数，要稍微缓一点点。

首先容易知道 \(y = \frac{x}{e^{x}}\) 的定义域为 \(\mathbb{R}\)。

然后考虑对其求导，得到 \(y' = \frac{1 - x}{e^{x}}\)，容易发现需要以 \(x = 1\) 作为分界点进行分析。分析过程与 \(y = xe^{x}\) 类似（所以图像也是类似的），此处不做赘述。

首先容易知道 \(y = x \ln x\) 的定义域为 \(\mathbb{R}^{+}\)。

然后对其求导，得到 \(y' = \ln x + 1\)。

可以发现从 \(x = 0\) 开始，\(y'\) 从 \(- \infty\) 开始快速增大，在 \(\frac{1}{e}\) 处取到 \(0\)，然后继续缓慢增大。

于是 \(y\) 一开始快速下降，在 \((\frac{1}{e}, -\frac{1}{e})\) 处取到最小值，然后加速上升，加速度略大于 \(y = x\)，远小于 \(y = x^{2}\)。

容易知道 \(y = \frac{\ln x}{x}\) 的定义域为 \(\mathbb{R}^{+}\)。

然后对其求导，得到 \(y' =\frac{1 - \ln x}{x^{2}}\)，容易发现需要以 \(x = 1, e\) 作为分界点进行分析。

当 \(0 \lt x \lt 1\) 时，往左 \(1 - \ln x\) 快速增大，\(x^{2}\) 快速缩小，于是 \(y'\) 总体快速增大，所以 \(y\) 从 \((1, 0)\) 开始向左以 \(y\) 轴为渐近线快速下降。
当 \(1 \lt x \lt e\) 时，\(1 - \ln x \gt 0, x^{2} \gt 0\)，并且 \(y'\) 的值不大，所以 \(y\) 从 \((1, 0)\) 开始缓慢上升，以 \((e, \frac{1}{e})\) 作为最高点。
当 \(x \gt e\) 时，\(1 - \ln x \lt 0, x^{2} \gt 0\)，并且 \(1 - \ln x\) 的下降速度远不如 \(x^{2}\) 的上升速度，于是 \(y' \lt 0\) 且以 \(0\) 为渐近线不断变大，体现在图像上即为 \(y\) 从 \((e, \frac{1}{e})\) 开始减速下降。

容易知道 \(y = \frac{x}{\ln x}\) 的定义域为 \(\mathbb{R}^{+} \backslash\{1\}\)。

然后对其求导，得到 \(y' = \frac{\ln x - 1}{\ln^{2} x}\)，容易发现需要以 \(x = 1, e\) 作为分界点进行分析。

当 \(0 \lt x \lt 1\) 时，\(\ln x - 1\) 始终小于 \(0\)，\(\ln^{2} x\) 始终大于 \(0\)。在靠近 \(x = 0\) 时，\(\ln x \to - \infty\)，故 \(\frac{\ln x - 1}{\ln^{2} x} \to \frac{1}{-\infty}\)，于是 \(y\) 下降幅度很小；在靠近 \(x = 1\) 时，\(\ln x \to 0\)，所以 \(\frac{\ln x - 1}{\ln^{2} x} \to -\infty\)，于是 \(y\) 下降幅度很大。
当 \(1 \lt x \lt e\) 时，\(\ln x - 1\) 始终小于 \(0\)，\(\ln^{2} x\) 始终大于 \(0\)。由于在 \(x\) 仅比 \(1\) 大一点点的时候 \(\ln x\) 非常接近 \(0\)，所以 \(y\) 从 \((1, +\infty)\)（一个虚拟的点）开始以非常快的速度下降，然后逐渐变得平缓，在 \((e, e)\) 取到最小值。
当 \(x \gt e\) 时，\(\ln x - 1\) 以缓慢的速度从 \(0\) 开始变大，\(\ln^{2} x\) 以比 \(\ln x\) 快一些，但仍然十分缓慢的速度从 \(1\) 开始变大。由于其结构上与 \(\frac{1}{\ln x}\) 十分类似，所以它以非常缓慢的速度减小。体现在图像上即为 \(y\) 不断上升，但上升速度越来越慢。