欧拉回路

Sat, 24 Jun 2023 11:00:56 +0000

定义

欧拉路径：如果图中的一个路径包括每个边恰好一次，则该路径称为欧拉路径。
欧拉回路：首尾相接的欧拉路径被称为欧拉回路。

判定

由于每一条边都要经过恰好一次，因此对于除了起点和终点之外的任意一个节点，只要进来，一定要出去，故有如下结论：

一个无向图存在欧拉回路，当且仅当该图所有顶点度数都为偶数，且该图只有一个存在边的连通块。
一个无向图存在欧拉路径，当且仅当该图中奇点的数量为 \(0\) 或 \(2\) 且该图只有一个存在边的连通块。
一个有向图存在欧拉回路，当且仅当所有点的入度等于出度。
一个混合图存在欧拉回路，当且仅当存在一个对所有无向边定向的方案，使得所有点的入度等于出度。求解需要用到网络流相关算法。

求解

一般使用 \(\rm dfs\) 算法求出一张图的欧拉回路。

给每一条边记一个 \(\rm vis\) 数组，表示其是否被访问过，然后从一个点出发，遍历所有的边。

直接 \(\rm dfs\) 的话可能会有一些点无法被遍历到，于是在记录答案的时候可以倒着记录，即当通过 \(u\to v\) 这条边的时候，可以先将点 \(v\ \rm dfs\) 完，再加入 \(u\to v\) 这条边。这样做相当于如果碰到两个相邻的环，但只遍历了其中一个就走到头了，于是我们需要走完另一个环后将两个环拼起来。

由于只需要将图遍历一遍，所以时间复杂度是 \(\Theta(n + m)\) 的。

参考代码

void dfs (int u) {
 for (int i = last[u]; i; i = Next[i]) {
 if (vis[i]) continue;
 vis[i] = true;
 int record = i;
 dfs(to[i]);
 Sta[++top] = record;
 }
}

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