24 高考新 I 卷数学 19(3)

Sat, 08 Jun 2024 16:03:33 +0000

对 \(m = 1, 2\), 取几组合法 \((i, j)\) 即证.

对 \(m \geqslant 3\), 设 \(f_{m}\) 表示 \(a_{1 \sim 4m + 2}\) 中能取出的合法数对数量.

注意到 \(a_{1 \sim 4m + 2}\) 中任意长度为 \(4l + 2\) 的子区间对应的答案均为 \(f_{l}\), 则取分界点 \(p_{1} = 4, p_{2} = 4m - 2\) 进行容斥.

\[ \begin{aligned} f_m &= f_m[i \not\in [1, p_1]~\textrm{or}~j \not\in [p_2 + 1, 4m + 2]] + f_m[i \in [1, p_1]~\textrm{and}~j \in [p_2 + 1, 4m + 2]]\\ &= f_m[i, j \in [p_1 + 1, 4m + 2]] + f_m[i, j \in [1, p_2]] - f_m[i, j \in [p_1 + 1, p_2]] \\ &~~~~+ f_m[i \in [1, p_1]~\textrm{and}~j \in [p_2 + 1, 4m + 2]]\\ &= 2f_{m - 1} - f_{m - 2} + f_m[i \in [1, p_1]~\textrm{and}~j \in [p_2 + 1, 4m + 2]] \end{aligned} \]

考虑求 \(f_{m}[i \in [1, p_{1}]\ \textrm{and}\ j \in [p_{2} + 1, 4m + 2]]\) 的下界.

显然 \((i, j) = (1, 4m + 2)\) 是合法的.
对于 \((i, j) = (2, 4m + 1)\), 当 \(m = 3\) 时其合法性在第 \((2)\) 问中已证. 当 \(m \gt 3\) 时, 从前后各取 \(2\) 个下标公差为 \(2\) 的子序列, 注意到只看子区间 \([9, 4m - 6]\), 其中 \(10\) 和 \(4m - 7\) 已经被取过了, 于是变成了等价的子问题. 故归纳可证 \((i, j) = (2, 4m + 1)\) 是合法的.

此时有 \(f_{m}[i \in [1, p_{1}]\ \textrm{and}\ j \in [p_{2} + 1, 4m + 2]] \geqslant 2\), 于是 \(f_{m} \geqslant 2f_{m - 1} - f_{m - 2} + 2\).

取 \(f^{\prime}_{m} = 2f^{\prime}_{m - 1} - f^{\prime}_{m - 2} + 2 \leqslant f_{m}, f^{\prime}_{1} = 3, f^{\prime}_{2} = 7\).

变换得 \((f^{\prime}_{m} - f^{\prime}_{m - 1}) = (f^{\prime}_{m - 1} - f^{\prime}_{m - 2}) + 2\), 由熟知的方法解得 \(f_{m} \geqslant f^{\prime}_{m} = m^{2} + m + 1\).

于是 \(P_{m} = \frac{f_{m}}{\binom{4m + 2}{2}} \geqslant \frac{f^{\prime}_{m}}{\binom{4m + 2}{2}} = \frac{m^{2} + m + 1}{8m^{2} + 6m + 1} \gt \frac{1}{8}\), 原命题得证.

2022 年新一卷数学第 7 题另解

Sat, 24 Jun 2023 11:00:56 +0000

设 \(a = 0.1 e^{0.1}, b = \frac{1}{9}, c = -\ln 0.9\)，试比较 \(a, b, c\) 的大小。

考虑到以下公式：

\[ e ^ {qx} = \sum _ {n} q ^ n \frac{x ^ n}{n!} \tag{7.1} \]\[ \ln(1 + x) = \sum _ n (-1) ^ n \frac{x ^ {n + 1}}{n + 1} \tag{7. 2} \]

将 \(a\) 带入式 \((7. 1)\) 可得：

\[ \begin{aligned} a &= 0.1(1 + 0.1 + \frac{0.01}{2} + \frac{0.001}{6} + \cdots) \\ &= 0.1 + 0.01 + \frac{0.001}{2} + \frac{0.0001}{6} + \cdots \end{aligned} \]

将 \(c\) 带入式 \((7.2)\) 可得：

\[ \begin{aligned} c &= \ln (1 + \frac{1}{9}) \\ &= \frac{1}{9} - \frac{\frac{1}{9 ^ 2}}{2} + \frac{\frac{1}{9 ^ 3}}{3} - \cdots \end{aligned} \]

分解 \(b\) 是简单的：

\[ b = 0.111\cdots = 0.1 + 0.01 + 0.001 + \cdots \]

此时 \(b \gt a, c\) 应当是一目了然的，于是考虑对比 \(a, c\) 的大小。

取 \(c' = \frac{1}{9} - \frac{1}{2 \times 81} + \frac{1}{3 \times 729} \gt c\)，不够好算，再取 \(c'' = \frac{1}{9} - \frac{1}{400} + \frac{1}{2000} = \frac{1}{9} - 0.002 \gt c'\)。

取 \(a' = 0.1 + 0.01 \lt a\)，易知 \(c'' \lt a'\)，于是 \(c \lt c' \lt c'' \lt a' \lt a\)。

综上，有 \(c \lt a \lt b\)。

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2022 年新一卷数学第 7 题另解