长链剖分

Sat, 24 Jun 2023 11:00:56 +0000

考虑将重儿子设为链最长的那一个，剖分是简单的，可以做到 \(\Theta(n).\)

这样剖分有一些性质：

链长和是 \(n\)，因为每个点都在且仅在一条链中。
任意点 \(x\) 的 \(k\) 级祖先 \(y\) 到它所在的长链底端距离不小于 \(k\) 。因为如果 \(x\) 和 \(y\) 在同一条长链上，那么 \(y\) 所在的长链长度不小于 \(k\) 。如果它们不在同一条的长链上，那么 \(y\) 到另一条长链底端的距离一定大于 \(k\)，否则的话 \(x\) 所在的链就可以接在 \(y\) 上成为更长的链。
从任意一个点开始跳重链的次数最多是 \(\sqrt{n}\) 级别的。因为容易知道每次跳到的长链长度一定大于当前链，于是最坏情况是分别经过了长度为 \(1, 2, 3, \cdots, \sqrt{n}\) 的长链，最多跳 \(\sqrt{n}\) 次。

考虑预处理每个点的 \(2\) 的幂次级祖先，对于一次询问 \((u, k)\)，首先跳到 \(u\) 的 \(highbit(k)\) 级祖先 \(v\) 上，由长链剖分的性质可知，\(v\) 到其所在长链底端的距离不小于 \(highbit(k).\)

由于长链长度之和为 \(n\)，所以我们可以预处理每条链顶端节点的 \(l\) 级祖先，\(l\) 取遍不大于链长的所有整数。并且我们还可以存下每条链的所有节点，挂在链顶。

这样，对于一次询问，假设 \(v\) 的 \(k - higtbit(k)\) 级祖先不超过链顶，那么可以直接查询，否则也可以从链顶跳若干步得到。由于 \(k - highbit(k) \lt hightbit(k)\)，故其一定小于链长，要查询的祖先是预处理过的。

时间复杂度 \(\Theta(n \log n)\) 预处理，单次查询 \(\Theta(1)\)。

Long Chain Decomposition |