多次取 (0, 1) 之间的随机实数, 期望多少次后其和恰不小于 1
设事件 \(\omega_{n}\) 表示随机取 \(n\) 个 \((0, 1)\) 中的实数, 其和小于 \(1\).
考虑根据定义求 \(\omega_{n}\):
将 \(1\) 用形式变量 \(x\) 代替, 即得
将 \(x\) 换回 \(1\), 回代得
设事件 \(\omega_{n}\) 表示随机取 \(n\) 个 \((0, 1)\) 中的实数, 其和小于 \(1\).
考虑根据定义求 \(\omega_{n}\):
将 \(1\) 用形式变量 \(x\) 代替, 即得
将 \(x\) 换回 \(1\), 回代得
一个广为流传的结论是: 从前往后遍历 \(37\%\) 的元素(事实上是 \(\frac{1}{e}\)), 称其中最大的为 \(\max\), 继续往后遍历, 一旦一个元素大于 \(\max\) 就立刻选择, 找不到则选最后一个元素 .
写了一个程序来验证这个结论:
考虑非负实数域上某可用条件概率刻画的期望：
其中 \(q\) 为已知，且 \(P(q|t = x)\) 是可用初等函数刻画的，于是：
考虑贝叶斯定理：
大多数情况下，哪怕 \(P(q)\) 可以用初等函数刻画，整个式子也会难以化简，于是考虑拆 \(P(q)\)：
整理可得