差分约束

Sat, 24 Jun 2023 11:00:56 +0000

差分约束是用来解形如 \(x_{1}-x_{2}\leqslant k\) 的若干个方程的算法。

我们发现可以将方程移项成 \(x_{1}\leqslant x_{2}+k\)，解方程的时候考虑建图，从 \(x_{2}\) 向 \(x_{1}\) 连一条长度为 \(k\) 的边，然后对这张图建一个超级源点，向所有点连一条长度为 \(0\) 的边，最后跑最短/最长路得出的 \(dis\) 就是每个变量的一个取值。

为什么这样做是对的呢？因为如果有一条 \(u\) 到 \(v\) 的长度为 \(w\) 的边，那么跑完最短路以后 \(dis_{v}\) 一定不大于 \(dis_{u} + w\)，恰好满足一个方程。那么将所有边连上以后再跑最短路就可以满足所有方程，最长路同理。

另外，如果有负环则无解。

时间复杂度 \(\Theta(\rm SPFA)\)。

需要注意的是，最短路求的是以起始点为基准的最大解，而最长路求的是以起始点为基准的最小解。

最短路

Sat, 24 Jun 2023 11:00:56 +0000

最短路算法拓展技巧

Floyd 传递闭包

有时候我们需要维护一些具有传递性的关系，如相等，连通等。

初始条件往往是给定几组关系，要把所有的关系求出来。

可以把 Floyd 算法做一些调整：

\[ dis_{i,j}=dis_{i,j}~|~(dis_{i,k}~\mathbin{\&}~dis_{k,j}) \]

时间复杂度还是 \(\Theta(n^{3})\)，但由于位运算的特殊性，有些时候可以使用 bitset 优化到 \(\Theta\left(\frac{n^{3}}{\omega}\right)\)。

Johnson 重赋权

对于多源最短路，如果我们枚举一个点然后跑堆优化的 Dijkstra，那么复杂度是 \(\Theta(nm \log n)\) 的，在图比较稀疏的情况下，这个复杂度要优于 Floyd 算法的 \(\Theta(n^{3})\)。

但是 Dijkstra 算法要求所有边权均非负，于是就有了重赋权的技巧。

具体来说，我们新建一个 \(0\) 号点，并且从这个点出发向所有点连一条边权为 \(0\) 的边，然后跑单源最短路(SPFA 或者 Bellman-Ford)。设距离数组为 \(h\)，接下来对于每条边 \((u, v)\)，令

\[ w^{\prime}(u, v)=w(u, v)+h(u)-h(v) \]

这样所有的边权都变成非负的，我们就可以跑 Dijkstra 算法了。

接下来证明这样做为什么是对的：

首先由于 \(h(v) \leqslant h(u)+w(u, v),\) 所以新图的边权一定非负。

设新图上的最短路径为 \(d^{\prime}\)，原图上的最短路径为 \(d\)。

\[ \begin{aligned} d^{\prime}(u, v) &= \min_{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}} w^{\prime}\left(u, a_{1}\right)+w^{\prime}\left(a_{1}, a_{2}\right)+\cdots+w^{\prime}\left(a_{k}, v\right) \\ &= \min_{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}} w\left(u, a_{1}\right)+\left(h(u)-h\left(a_{1}\right)\right)+w\left(a_{1}, a_{2}\right)+\left(h\left(a_{2}\right)-h\left(a_{1}\right)\right)+\cdots+w\left(a_{k}, v\right)+\left(h(v)-h\left(a_{k}\right)\right) \\ &= h(u)-h(v)+\min_{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}} w\left(u, a_{1}\right)+\cdots+w\left(a_{k}, v\right) \\ &= h(u)-h(v)+d(u, v) \end{aligned} \]

这个证明用到了势能分析的思想，如果想进一步了解话可以参考本站《「杂项」复杂度分析》一文。

最短路图

所谓最短路图，就是在求完从 \(S\) 出发的单源最短路之后，只保留最短路上的边形成的有向图。

只需要在求的过程中维护一个 \(pre_{u}\) 数组表示点 \(u\) 的前驱即可。

很多最短路的变种都需要用这个算法，有时候考虑最短路图也有利于发现一些隐藏的性质。

经典例题

[LG1266] 速度限制

记 \(dis_{i,j}\) 表示当前已经到 \(i\)，上一个点是 \(j\) 的时间最短路。

本质上是个分层图最短路，直接跑 Dijkstra 就好了。

时间复杂度 \(\Theta(nm\log n)\)。

[ICPC-BJ2006] 狼抓兔子

首先有定义：

平面图是指的存在某种方式使得图上所有边平铺在平面上无交。

对偶图是指的将平面图上的每个区域看作一个点，两点连边当且仅当两区域相邻，边权为将两区域分隔开的边的权值。

有定理：

平面图两点间最小割等于对偶图两点间最短路。

于是在这道题中我们就可以将每个三角形区域看作一个点，相邻区域连边后跑从左下角到右上角的最短路。

时间复杂度 \(\Theta(n^{2}\log n)\)。

[GXOI/GZOI2019] 旅行者

我们发现可以对 \(k\) 个点二进制分组，每次将 \(k\) 个点分成两个集合 \(S_{1}\) 和 \(S_{2}\)，建一个源点 \(s\) 向所有 \(S_{1}\) 中的结点连长度为 \(0\) 的边，建一个汇点 \(t\) 从所有 \(S_{2}\) 中的结点开始向它连长度为 \(0\)，的边，求从 \(s\) 到 \(t\) 的最短路。

可以发现，若答案为两点 \(x\) 和 \(y\) 之间的最短路，那么一定有 \(x\not= y\)，这意味着它们至少在某一次二进制分组中被分到了不同的集合，所以这样一定可以找到两点间的最短路。

时间复杂度 \(\Theta(Tn\log n\log k)\)。

Shortest Paths |