虚树

Sat, 24 Jun 2023 11:00:56 +0000

在一些问题中，我们只关心关键点的信息，同时我们需要维护他们之间的树形结构，于是可以想到将它们和它们之间的 \(\rm LCA\) 拉出来建一颗树，这棵树就被称作虚树。

有一个朴素的想法，就是对它们两两求 \(\rm LCA\)，并且对求出的 \(\rm LCA\) 再求 \(\rm LCA\)，中途判重，最后按照祖先关系连边。

经过观察可以发现，我们只需要按照 \(\rm dfs\) 虚从小到大的顺序枚举每个点，将相邻两点求 \(\rm LCA\) 即可。具体来说，我们可以维护一个栈，这个栈中存的是当前点在虚树上的所有祖先。设当前栈顶为 \(v\)，对于新加入的结点 \(u\)，我们对它进行分类讨论：

若 \(\rm LCA(u,v)=v\)，那么直接将 \(u\) 入栈。
若 \(\rm LCA(u,v)\) 是栈中某个不为 \(v\) 的点，则弹栈直到 \(\rm LCA(u,v)\)，每弹一个就向栈中比它深度多 \(1\) 的结点连边，最后并把 \(u\) 入栈。
若 \(\rm LCA(u,v)\) 不在栈中，那么弹栈直到栈顶的 \(\rm dfs\) 序小于 \(\rm LCA(u,v)\) 的 \(\rm dfs\) 序，每弹一个就向栈中比它深度多 \(1\) 的结点连边，并把最后一个弹出的结点向 \(\rm LCA(u,v)\) 连边，最后把 \(\rm LCA(u,v)\) 和 \(u\) 入栈。

不难发现这样一定是对的，并且设关键点数量为 \(k\)，则虚树内点数不超过 \(2k\)。

在一棵有 \(n\) 个点的树上建立一颗有 \(k\) 个点的虚树的时间复杂度为 \(\Theta(k\log n)\)。

经典例题

首先有一个暴力 \(\rm DP\)，设 \(dp_{u}\) 表示将 \(u\) 的子树内所有关键点与 \(u\) 的联系断开所需要的最小代价。转移时枚举 \(u\) 的所有子节点，分类讨论：

若 \(v\) 为关键点，那么必须切断这条边，有 \(dp_{u}=dp_{u}+w_{u,v}\)
若 \(v\) 不为关键点，那么可以切断这条边也可以从 \(dp_{v}\) 转移，故有 \(dp_{u}=dp_{u}+min\{dp_{v},w_{u,v}\}\)

最终答案就是 \(dp_{1}\)，这个暴力的时间复杂度是 \(\Theta(qn)\)。

观察到 \(\sum k\leqslant 5e5\)，所以考虑对每次询问建虚树。

建虚树之前需要记 \(M_{u}\) 表示从 \(1\) 到 \(u\) 的路径上最短的边权，因为只需要切掉最短的边权就可以让点 \(u\) 与 \(1\) 不连通，而切上面的边是更优的，所以可以用 \(M_{u}\) 直接替换转移方程中的 \(w_{u,v}\)。

时间复杂度 \(\Theta(\sum k\log n)\)。

首先建虚树。

时间复杂度 \(\Theta(\sum k\log n)\)。

我们发现如果将虚树建出来，那么答案就是虚树上所有边权之和的两倍。

于是我们考虑动态维护虚树的边权之和。先把所有点的 \(\rm dfs\) 序求出来，然后我们发现边权之和等于 \(\rm dfs\) 序相邻两点的距离之和加上最左边和最右边两点的距离，于是我们可以使用 \(\rm set\) 维护，树剖求 \(\rm LCA\)。

时间复杂度 \(\rm \Theta(n\log n)\)。